题文
（本小题满分14分）已知f(x)=ln(1+x)-x.（Ⅰ）求f(x)的最大值；
（Ⅱ）数列{an}满足：an+1= 2f' (an) +2,且a1=2.5，
= bn,
⑴数列{ bn+
}是等比数列 ⑵判断{an}是否为无穷数列。
（Ⅲ）对n∈N*,用⑴结论证明：ln(1+
+
)<
; 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）极大值为f(0)=0，也是所求最大值；（Ⅱ）（1）略
（2）数列{an}为无穷数列，证明略。
（Ⅲ）ln(1+
+
)<
，证明略。
解析
⑴x>-1, f'(x)=
-1=
,
x
(-1,0)
0
(0,+∞)
f'(x)
+
0
-
f(x)
↗
极大值
↘
∴极大值为f(0)=0，也是所求最大值；……………………4分
（Ⅱ）an+1=
，∴an+1-1=
，∴
=-1-
，……………………5分
则bn+1=-2 bn-1, ∴bn+1+
=-2(bn+
), b1+
="1,"
∴数列{ bn+
}是首项为1，公比为-2的等比数列，…………………7分
∴bn+
=(-2)n-1, ……………………8分
∴an=
+1=
+1，……………………9分
明显a1=2.5>-1，n≥2时(-2)n-1-
<-2, ∴an>0>-1恒成立，
∴数列{an}为无穷数列。……………………11分
（Ⅲ）由⑴ln(1+x) ≤x，∴ln(1+
+
)< ln(1+
)3……………………12分
="3" ln(1+
)≤3×
=
成立。 ………14分
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）已知f(x)=ln(.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）
仍为等差数列，公差为
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
