．已知数列的相邻两项是关于的方程的两实根，且，记数列的前项和为.求；求证：数列是等比数列；设，问是否存在常数，使得对都成立

题文

．（本小题满分14分）
已知数列

的相邻两项

是关于

的方程

 的两实根，且

，记数列

的前

项和为

.
（1）求

；
（2）求证：数列

是等比数列；
（3）

设

，问是否存在常数

，使得

对

都成立，若存在，
求出

的取值范围，若不存在，请说明理由. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)

，


(2)略
(3)

解析

解：（1）证明：因为

，

是关于

的方程

的两实根，
所以

.                                         …………1

分
又因为

，所以，

，

.                        …………3分（2）

    ………… 6分
故数列

是首项为

，公比为

的等比数列. ………… 7分
（3）由（2）得

，
即

,


            

                              …………9分
又

，
要使

，对

都成立，
即

（*）………10分
①当

为正奇数时，由（*）式得：


,
即

,


对任意正奇数

都成立，
故

为正奇数）的最小值为1.


                                                …………12分
②当

为正偶数时，由（*）式得：


，
即

，


对任意正偶数

都成立，
故

为正偶数）的最小值为




                                               …………13分
综上所述得，存在常数

，使得

对

都成立，


的取值范围为

.                                   …………14分

考点

据考高分专家说，试题“．（本小题满分14分）已知数列的相邻两项.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．