本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．已知负数和正数，且对任意的正整数n，当≥0时, 有[, ]=[, ]；

题文

（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．
已知负数

和正数

，且对任意的正整数n，当

≥0时, 有[

,

]=
[

,

]；当

<0时, 有[

,

]= [

,



]．
（1）求证数列{

}是等比数列；
（2）若

，求证



；
（3）是否存在

，使得数列

为常数数列？请说明理由 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当≥0时，b_n+1－a_n+1= -a_n= ；
当<0, b_n+1－a_n+1= b_n-= ．
所以，总有b_n+1－a_n+1= (b_n-a_n),                      
又

，可得

，                     
所以数列｛b_n－a_n｝是等比数

列．                          ………………4分
（2）①由

，可得

，故有

，
∴

，

，从而

，
故当n=1时，

成立．                           ………………6分
②假设当

时，

成立，即

，      
由

，可得

，                   


, 故有

，
∴

,                       ………………9分


,故有


∴

,

，故


∴当

时，

成立．
综合①②可得对一切正整数n，都有

．             ………………12分
（3）假设存在

，使得数列

为常数数列，
由（1）可得b_n－a_n=

()^n-1，又

，
故b_n=

()^n-1，                                 ………………14分
由

恒成立，可知≥0,即

()ⁿ ≥0恒成立，
即2ⁿ≤

对任意的正整数n恒成立，                 ………………16分
又

是正数，故n≤

对任意的正整数n恒成立，
因为

是常数，故n≤

不可能对任意正整数n恒成立．
故不存在

，使得数列

为常数数列．    ………………18分

解析

略

考点

据考高分专家说，试题“（本题满分18分）本题共有3个小题，第1.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．