如图，过曲线：上一点作曲线的切线交轴于点，又过作 轴的垂线交曲线于点，然后再过作曲线的切线交轴于点，又过作轴的垂线交曲线于点，，以此类推，过点的切线与轴相交于点

题文

如图，过曲线

：

上一点

作曲线

的切线

交

轴于点

，又过

作

轴的垂线交曲线

于点

，然后再过

作曲线

的切线

交

轴于点

，又过

作

轴的垂线交曲线

于点

，

，以此类推，过点

的切线

 与

轴相交于点

，再过点

作

轴的垂线交曲线

于点

（

N

）．



(1) 求

、

及数列

的通项公式；
(2) 设曲线

与切线

及直线

所围成的图形面积为

，求

的表达式；
(3) 在满足(2)的条件下, 若数列

的前

项和为

，求证：



N

. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) 解:由

，设直线

的斜率为

，则

.
∴直线

的方程为

.令

，得

，          ……2分
∴

， ∴

.
∴

.
∴直线

的方程为

.令

，得

.        ……4分
一般地，直线

的方程为

，
由于点

在直线

上，
∴

.
∴数列

是首项为

，公差为

的等差数列.
∴

.                                             ……6分
（2）解：






.      ……8分
（3）证明：

.…10分
∴

，

.
要证明

，只要证明

，即只要证明

。 11分
证法1：（数学归纳法）
① 当

时，显然

成立；
② 假设

时，

成立，
则当

时，

，
而

.
∴

.
∴

.
这说明，

时，不等式也成立.
由①②知不等式

对一切

N

都成立.       ……14分
证法2:




.
∴不等式

对一切

N

都成立.       ……14分
证法3:令

,
则

,
当

时,



,
∴函数

在

上单调递增.
∴当

时,

.
∵

N

,
∴

, 即

.
∴

.
∴不等式

对一切

N

都成立.  

解析

略

考点

据考高分专家说，试题“如图，过曲线：上一点作曲线的切线交轴于点.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．