题文
（本小题满分14分)已知数列
是各项均不为
的等差数列，公差为
，
为其前
项和，且满足
，
．数列
满足
，
为数列
的前n项和．
（1）求
、
和
；
（2）若对任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
（3）是否存在正整数
，使得
成等比数列？若存在，求出所有
的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：（1）（法一）在中，令
，
，
得
即
……………………………………2分
解得
，
， ………………………………………3分
．
，
． ……………………5分
（法二）
是等差数列，
． …………………………2分
由
，得
，
又
，
，则
． ………………………3分
(
求法同法一)
（2）①当
为偶数时，要使不等式
恒成立，即需不等式
恒成立． …………………………………6分
，等号在
时取得．
此时
需满足
． …………………………………………7分
②当
为奇数时，要使不等式
恒成立，即需不等式
恒成立． …………………………………8分
是随
的增大而增大，
时
取得最小值
．
此时
需满足
． …………………………………………9分
综合①、②可得
的取值范围是
． …………………………………………10分
（3）
，
若
成等比数列，则
，即
．…11分
（法一）由
， 可得
，
即
， …………………………………12分
． ……………………………………13分
又
，且
，所以
，此时
．
因此，当且仅当
，
时，
数列
中的
成等比数列．…………14分
（法二）因为
，故
，即
，
，（以下同上）． …………………………………………13分
解析
略考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分14分)已知数列是各项均不为.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）
仍为等差数列，公差为
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
