(本题满分14分)已知函数f(x)满足2ax·f(x)=2f(x)-1,f(1)=1，设无穷数列{an}满足an+1=f(an).求函数f(x)的表达式；

题文

(本题满分14分)已知函数f(x)满足2ax·f(x)=2f(x)-1,f(1)=1，设无穷数列{a_n}满足a_n+1=f(a_n).（1）求函数f(x)的表达式；（2）若a₁=3，从第几项起，数列{a_n}中的项满足a_n＜a_n+1；（3）若

＜a₁＜

（m为常数且m∈N+,m≠1），求最小自然数N，使得当n≥N时，总有0＜a_n＜1成立。 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

解析

（1）当a=0时，有0=2f(x)-1,把f(1)=1代入2f(x)-1=1≠0，则a≠0，当a≠0时，f(x)=-

,
又f(1)=1



, ∴

,        4 分
(2)若a₁=3，由



,

,
假设当n≥3时，0＜a_n＜1,则0＜a_n+1=

＜

=1

2-a_n＞0，从而a_n+1-a_n=

＞0 

a_n+1＞a_n       从第2项起，数列{a_n}中的项满足a_n＜a_n+1                                9分
另解：由






∴要满足a_n＜a_n+1，即

＜

，     

＜0

＞0

n＞

或n＜

，又∵n∈N*,∴n＞

,∴从第2项起，数列{a_n}中的项满足a_n＜a_n+1                9分
（3）当

＜a₁＜

时，由

＜a₂＜

,同理

＜a₃＜

,假设

＜a_n＜

,由

与归纳假设知

＜a_m，即a_m＞2
∴

＜0,0＜a_m+2=

＜

="1  " ∴N=m+2，使得当n≥N时，总有0＜a_n＜1            14分
另解：由（2）的方法2可得


要使0＜a_n＜1，则0＜

＜1

-1＜

＜1

-1＜

＜0


即当

＜n-2时，总有0＜a_n＜1，又∵

＜a₁＜

＜m-1＜

＜m
∴m≤n-2

n≥m+2    ∴当N＝m+2，使得当n≥N时总有0＜a_n＜1              14分

考点

据考高分专家说，试题“(本题满分14分)已知函数f(x)满足2.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．