已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an+Sn=3-82n，设bn=2n•an．求证：数列{bn}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；求数列

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足an+Sn=3-82n，设bn=2n•an．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n•b_n}中最大项；
（3）求证：对于给定的实数λ，一定存在正整数k，使得当n≥k时，不等式λS_n＜b_n恒成立． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：∵an+Sn=3-82n，
∴n≥2时，an-1+Sn-1=3-82n-1
两式相减可得2an-an-1=82n-1-82n
∴2an-an-1=42n-1
∴2nan-2n-1an-1=4
∵bn=2n•an
∴b_n-b_n-1=4
∵n=1时，a1+S1=3-821，∴a1=-12
∴b1=21•a1=-1
∴数列{b_n}是以-1为首项，4为公差的等差数列
∴bn=4n-5，an=4n-52n，
（2）a_n•b_n=(4n-5)22n
令f（n）=(4n-5)22n，则f(n+1)f(n)=(4n-1)22(4n-5)2
令(4n-1)22(4n-5)2＜1，则16n²-72n+49＞0
∴n＞5时，f(n+1)f(n)＜1，n＜5时，f(n+1)f(n)＞1
∴数列从第一项到第四项，单调递增，从第五项开始，单调递减
所以最大项是第四项12116；
（3）证明：∵an=4n-52n
∴数列{a_n}的前n项和为S_n=(-1)×12+3×122+…+(4n-5)×12n
∴12S_n=(-1)×122+…+(4n-9)×12n+(4n-5)×12n+1
两式相减可得12S_n=(-1)×12+4×122+…+4×12n-(4n-5)×12n+1
∴S_n=3-(4n+3)×12n
∴S₁=-12
∴S_n的值域[-12，3），
∵b_n=4n-5，∴b_n的值域[-1，+∞），
∴对于给定的实数λ，一定存在正整数k，使得当n≥k时，不等式λS_n＜b_n恒成立．

解析

82n

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．