已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+λ•2n，且a1，a2+2，a3成等差数列．求λ的值；求数列{an}的通项公式；

题文

已知数列{a_n}满足a₁=1，an+1=an+λ•2n（n∈N^*，λ为常数），且a₁，a₂+2，a₃成等差数列．
（1）求λ的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设数列{b_n}满足b_n=n2an+3，证明：b_n≤916． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为a₁=1，an+1=an+λ•2n（n∈N^*），
所以a2=a1+λ•21=1+2λ，a3=a2+λ•22=1+6λ．
因为a₁，a₂+2，a₃成等差数列，
所以a₁+a₃=2（a₂+2），即2+6λ=2（3+2λ），
解得λ=2．
（2）由（1）得，λ=2，所以an+1=an+2n+1（n∈N^*），
所以an-an-1=2n（n≥2）．
当n≥2时，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=1+2²+2³+…+2ⁿ=1+22(1-2n-1)1-2=2ⁿ⁺¹-3．
又a₁=1也适合上式，
所以数列（-∞，a]的通项公式为an=2n+1-3（n∈N^*）．
（3）证明：由（2）得，an=2n+1-3，所以bn=n22n+1．
因为bn+1-bn=(n+1)22n+2-n22n+1=-n2+2n+12n+2=-(n-1)2+22n+2，
当n≥3时，-（n-1）²+2＜0，所以当n≥3时，b_n+1-b_n＜0，即b_n+1＜b_n．
又b1=14＜b2=12＜b3=916，
所以bn≤b3=916（n∈N^*）．

解析

22(1-2n-1)1-2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=1，an+1=.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．