已知正数数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn2=a13+a23+…+an3．求证：数列{an}为等差数列，并求出通项公式；设bn=

题文

已知正数数列{a_n}的前n项和为Sn，满足S_n²=a₁³+a₂³+…+a_n³．
（I）求证：数列{a_n}为等差数列，并求出通项公式；
（II）设b_n=（1-1an）²-a（1-1an），若b_n+1＞b_n对任意n∈N^*恒成立，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

法一：
（Ⅰ）∵S_n²=a₁³+a₂³+…+a_n³，
∴S_n-1²=a₁³+a₂³+…+a_n-1³，
两式相减，得an3=Sn2-Sn-12=（S_n-S_n-1）（S_n+S_n-1）=a_n（S_n+S_n-1），
∵a_n＞0，∴an2=Sn+Sn-1（n≥2），
∴an-1 2=Sn-1+Sn-2(n≥2)，
两式相减，得an2-an-12 =Sn-Sn-2=a_n+a_n-1，
∴a_n-a_n-1=1（n＞3），
∵S12=a12=a13，且a₁＞0，∴a₁=1，
S22=(a1+a2)2=a13+a23，
∴（1+a₂）²=1+a23，∴a23-a22-2a2=0，
由a₂＞0，得a₂=2，
∴a_n-a_n-1=1，n≥2，
故数列{a_n}为等差数列，通项公式为a_n=n．
（Ⅱ）bn=(1-1n)2-a(1-1n)=1n2+a-2n+1-a，
令t=1n，则bn=t2+(a-2)t+1-a，
设g（t）=t²+（a-2）t+1-a，
当2-a2＞34时，即a＜12时，g（t）在（0，34]上为减函数，
且g(12) ＞g(1)，∴b₁＜b₂＜b₃＜…
当2-a2≤34时，即a≥12时，g(12) ≤g(1)，从而b₂≤b₁不合题意，
∴实数a的取值范围a＜12．
法二：
（Ⅰ）同法一．
（Ⅱ）bn+1-bn=(1n+1-1n)(1n+1+1n+a-2)＞0，
∴1n+1+1n+a-2＜0，
即a＜2-1n+1-1n对任意n∈N^*成立，
∴实数a的取值范围a＜12．

解析

1n

考点

据考高分专家说，试题“已知正数数列{an}的前n项和为Sn，满.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．