已知f(x)=logax(a＞0且a≠1)，设f(a1),f(a2),…,f(an) (n∈N*)是首项为4，公差为2的等差数列.设a为常数，求证：{an

题文

已知f(x)=log_ax(a＞0且a≠1)，设f(a₁),f(a₂),…,f(a_n) (n∈N^*)是首项为4，公差为2的等差数列.
（1）设a为常数，求证：{a_n}成等比数列；
（2）若b_n=a_nf(a_n),{b_n}的前n项和是S_n，当a=

时，求S_n. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明见解析（2）S_n=n·2ⁿ⁺³

解析

（1）证明 f(a_n)=4+(n-1)×2=2n+2,
即log_aa_n="2n+2,                                                  " 2分
可得a_n=a²ⁿ⁺².
∴

=

=

=a²（n≥2）为定值.                              4分
∴{a_n}为等比数列.                                                     6分
(2)解  b_n=a_nf(a_n)=a²ⁿ⁺²log_aa²ⁿ⁺²=(2n+2)a²ⁿ⁺².
当a=

时，b_n=(2n+2)(

)²ⁿ⁺²=(n+1)2ⁿ⁺².                                8分
S_n=2·2³+3·2⁴+4·2⁵+…+(n+1)·2ⁿ⁺²                            ①
2S_n=2·2⁴+3·2⁵+4·2⁶+…+n·2ⁿ⁺²+(n+1)·2ⁿ⁺³                     ②
①-②得
-S_n=2·2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺²-(n+1)·2ⁿ⁺³
=16+

-(n+1)2ⁿ⁺³
=16+2ⁿ⁺³-2⁴-n·2ⁿ⁺³-2ⁿ⁺³=-n·2ⁿ⁺³.
∴S_n=n·2ⁿ⁺³.                                                  14分

考点

据考高分专家说，试题“已知f(x)=logax(a＞0且a≠1.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．