(本小题满分18分)已知数列｛an｝、｛bn｝、｛cn｝的通项公式满足bn=an+1-an，cn=bn+1-bn，若数列｛bn｝是一个非零常数列，

题文

(本小题满分18分)已知数列｛a_n｝、｛b_n｝、｛c_n｝的通项公式满足b_n=a_n+1-a_n，c_n=b_n+1-b_n（n∈N*），若数列｛b_n｝是一个非零常数列，则称数列｛a_n｝是一阶等差数列；若数列｛c_n｝是一个非零常数列，则称数列｛a_n｝是二阶等差数列(1)试写出满足条件a_１＝１,b₁=1，c_n=1（n∈N*）的二阶等差数列｛a_n｝的前五项；(2)求满足条件(1)的二阶等差数列｛a_n｝的通项公式a_n；(3)若数列｛a_n｝首项a_１＝２，且满足c_n-b_n+1+3a_n＝-2ⁿ⁺¹（n∈N*），求数列｛a_n｝的通项公式 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a₁=1，a₂=2，a₃=4，a₄=7，a₅=11（2）a_n＝(n²-n+2)/2 （3）a_n=4ⁿ-2ⁿ

解析

 （1）a₁=1，a₂=2，a₃=4，a₄=7，a₅=11-----4分
（2）依题意b_n+1-b_n=c_n=1，n=1，2，3，…
所以b_n=（b_n-b_n-1）＋（b_n-1-b_n-2）＋（b_n-2-b_n-3）＋…+（b₂-b₁）+b₁=1+1+1+…+1="n  " ---6分
又a_n+1-a_n=b_n＝n，n=1，2，3，…所以a_n＝（a_n-a_n-1）＋（a_n-₁-a_n-2）＋（a_n-2-a_n-3）＋…+（a₂-a₁）＋a_１
=（n-1）+（n-2）+…+2+1+1=n（n-1）/2+1=(n²-n+2)/2 --10分
（3）由已知c_n-b_n+1＋３a_n= -2ⁿ⁺¹，可得b_n+1-b_n-b_n+1+3a_n＝-2ⁿ⁺¹，即b_n-3a_n=2ⁿ⁺¹，∴a_n+1=4a_n+2ⁿ⁺¹．-12分
解法一：整理得：a_n+1＋２ⁿ⁺¹=4（a_n+2ⁿ），-------15分
因而数列｛a_n+2ⁿ｝是首项为a₁+2=4，公比为4的等比数列，
∴a_n+2ⁿ＝4·4^n-1＝４ⁿ，即a_n=4ⁿ-2ⁿ．（18分）
解法二：在等式a_n+1＝4a_n+2ⁿ⁺¹两边同时除以2ⁿ⁺¹得：a_n+1/２ⁿ⁺¹=2·a_n/2ⁿ＋１．----15分
令k_n=a_n/2ⁿ，则k_n+1＝２k_n+1，即k_n+1＋１＝２（k_n+1）
故数列｛k_n+1｝是首项为2，公比为2的等比数列所以k_n+1=2·2^n-1＝２ⁿ，即k_n=2ⁿ-1．
∴a_n=2ⁿk_n=2ⁿ（２ⁿ-1）=4ⁿ-2ⁿ．-------18分
解法三：∵a_１＝２，∴a₂＝１２＝２^２×（2^２-1），a₃＝５６＝２^３×（２^３-1），a₄＝３２＝２^４×（２^４-1）
猜想：a_n=2ⁿ（2ⁿ-1）＝４ⁿ-2ⁿ． ------15分
下面用数学归纳法证明如下：（i）当n=1时，a_１＝２＝4-2，猜想成立；
（ii）假设n=k时，猜想成立，即a_k=4^k-2^k．那么当n=k+1时，a_k+1＝４a_k+2^k+1＝４（4^k-2^k）＋２^k+1="4" ^k+1-2 ^k+1，结论也成立∴由（i）、（ii）可知，a_n=4ⁿ-2ⁿ．----18分

考点

据考高分专家说，试题“(本小题满分18分)已知数列｛an｝、｛.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．