已知函数f(x)=(x<－2).(1)求f(x)的反函数f-－1(x);(2)设a1=1,=－f－-1(an)(n∈N*),求an;(3)设Sn=a12+

题文

已知函数f(x)=

 (x<－2).
(1)求f(x)的反函数f^-－1(x);
(2)设a₁=1,

 =－f^－-1(a_n)(n∈N^*),求a_n;
(3)设S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²,b_n=S_n+1－S_n是否存在最小正整数m,使得对任意n∈N^*,有b_n<

成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) y=f^－-1(x)=－

 ，(x>0) (2) a_n=

 ，(3) 存在最小正整数m=6,使对任意n∈N^*有b_n<

成立

解析

(1)设y=

,∵x<－2,∴x=－

,
即y=f^－-1(x)=－

 (x>0)
(2)∵

，
∴{

}是公差为4的等差数列，
∵a₁=1,

=

+4(n－1)=4n－3,∵a_n>0,∴a_n=

.
(3)b_n=S_n+1－S_n=a_n+1²=

,由b_n<

,得m>

,
设g(n)=

,∵g(n)=

在n∈N^*上是减函数，
∴g(n)的最大值是g(1)=5,
∴m>5,存在最小正整数m=6,使对任意n∈N^*有b_n<

成立.

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=(x<－2).(.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．