(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn, 且满足条件：4S n =+ 4n – 1 , nÎN*.(1) 证明：(a n– 2)2 –

题文

(本小题满分12分)已知数列{a_n}的前n项和为S_n, 且满足条件：4S _n =

+ 4n – 1 , nÎN*.
(1) 证明：(a _n– 2)² –

="0" （n ³ 2）;(2) 满足条件的数列不惟一，试至少求出数列{a_n}的的3个不同的通项公式 . 题型：未知 难度：其他题型

答案

(2) 当a₁ =1且a _n + a_{n – 1} = 2时，得a_n ="1. " 2）当a₁ =1且a _n – a _{n – 1} =" 2" 时，得a_n =" 2n–1" .
3）当a₁ =3且a _n – a _{n – 1} =" 2" 时，得a_n =" 2n" + 1 .     4）当a₁ =3且a _n + a_{n – 1} = 2时，得a_n =2(–1)^{n+ 1} + 1.

解析

(1) 由条件4S _n =

+ 4n – 1 , nÎN*.得4S _{n – 1} =

+ 4(n – 1 ) – 1,
相减得：4a _n  =

–

 + 4,化成

–4a _n+ 4–

= 0,
∴ (a _n– 2)² –

="0" .     4分
(2) 由(1)得：(a _n –2 + a_{n – 1} )(a _n –2 – a _{n – 1} ) =" 0∴" a _n + a_{n – 1} =" 2 " 或a _n – a _{n – 1} =" 2" . 2分
在4S _n =

+ 4n – 1中，令n = 1,得4a₁ =

+ 4 – 1,解得：a₁ =1或 a₁ ="3. " 2分
分四种情况：
1）当a₁ =1且a _n + a_{n – 1} = 2时，得a_n =1.
2）当a₁ =1且a _n – a _{n – 1} =" 2" 时，得a_n =" 2n–1" .
3）当a₁ =3且a _n – a _{n – 1} =" 2" 时，得a_n =" 2n" + 1 .
4）当a₁ =3且a _n + a_{n – 1} = 2时，得a_n =2(–1)^{n+ 1} + 1. 每个1分，有3个即可

考点

据考高分专家说，试题“(本小题满分12分)已知数列{an}的前.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．