已知数列an的前n项和Sn=-an-(12)n-1+2(n∈N*)令bn=2nan，求证：数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式．令cn=n+1

题文

已知数列a_n的前n项和Sn=-an-(12)n-1+2(n∈N*)
（1）令b_n=2ⁿa_n，求证：数列b_n是等差数列，并求数列a_n的通项公式．
（2）令cn=n+1nan，Tn=c1+c2+…+cn，试比较T_n与5n2n+1的大小，并予以证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）在Sn=-an-(12)n-1+2(n∈N*)中，令n=1，可得S₁=-a₁-1+2=a₁，即a1=12
当n≥2时，Sn-1=-an-1-(12)n-2+2
所以an=Sn-Sn-1=-an+an-1+(12)n-1
所以2an=an-1+(12)n-1，即2ⁿa_n=2^n-1a_n-1+1
因为b_n=2ⁿa_n，所以b_n=b_n-1+1，即当n≥2时，b_n-b_n-1=1
又b₁=2a₁=1，所以数列b_n是首项和公差均为1的等差数列
于是b_n=1+（n-1）•1=n=2ⁿa_n，所以an=n2n
（2）由1）得cn=n+1nan=(n+1)(12)n
所以Tn=2×12+3×(12)2+…+(n+1)×(12)n①12Tn=2×(12)2+3×(12)3++n•(12)n+(n+1)•(12)n+1②
由①-②得12Tn=32-n+32n+1
所以Tn=3-n+32nTn-5n2n+1=3-n+32n-5n2n+1=(n+3)(2n-2n-1)2n(2n+1)
于是确定T_n与5n2n+1的大小关系等价于比较2ⁿ与2n+1的大小．
猜想当n=1，2时，2ⁿ＜2n+1，当n≥3时，2ⁿ＞2n+1
下面用数学归纳法证明：
当n=3时，显然成立
假设当n=k（k≥3）时，2^k＞2k+1成立
则当n=k+1时，2^k+1=2•2^k＞2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+1+（2k-1）＞2（k+1）+1
所以当n=k+1时，猜想也成立．
于是，当n≥3，n∈N^*时，2ⁿ＞2n+1成立
综上所述，当n=1，2时，Tn＜5n2n+1，
当n≥3时，Tn＞5n2n+1

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列an的前n项和Sn=-an-(1.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．