设数列{bn}的n项和为Sn，且bn=1-2Sn；数列{an}为等差数列，且a5=14，a7=20，．求数列{bn}的通项公式；若cn=an•bn，

题文

设数列{b_n}的n项和为S_n，且b_n=1-2S_n；数列{a_n}为等差数列，且a₅=14，a₇=20，．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，n=1，2，3，…，T_n为数列{c_n}的前n项和．求证：T_n＜74． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由b_n=1-2S_n，令n=1，则b₁=1-2S₁，又S₁=b₁
所以b₁=13…（2分）
当n≥2时，由b_n=2-2S_n，可得b_n-b_n-1=-2（S_n-S_n-1）=-2b_n
即 bnbn-1=13…（4分）
所以{b_n}是以b₁=13为首项，13为公比的等比数列，
于是b_n=13n…（6分）
（2）数列{a_n}为等差数列，公差d=12（a₇-a₅）=3，可得a_n=3n-1…（7分）
从而c_n=a_n•b_n=（3n-1）•13n，
∴T_n=2•13+5•132+8•133+…+（3n-1）•13n，
13Tn=2•132+5•133+…+（3n-4）•13n+（3n-1）•13n+1
∴23T_n=2•13+3•+3•132+…+3•13n-13-（3n-1）•13n+1=76-6n+72•3n+1…（11分）
∴Tn=74-6n+74•3n＜74．…（12分）

解析

13

考点

据考高分专家说，试题“设数列{bn}的n项和为Sn，且bn=1.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．