对于数列{an}，定义{△an}为数列{an}的一等差数列，其中△an=an+1-an，若数列{an}通项公式an=52n2-132n(n∈N

题文

对于数列{a_n}，定义{△a_n}为数列{a_n}的一等差数列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），
（1）若数列{a_n}通项公式an=52n2-132n(n∈N*)，求{△a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}的首项是1，且满足△a_n-a_n=2ⁿ，①证明：数列{an2n}为等差数列；②求{a_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（1）依题△a_n=a_n+1-a_n，
∴△an=[52(n+1)2-132(n+1)]-(52n2-132n)=5n-4，
（2）i）由△a_n-a_n=2ⁿ，即a_n+1-a_n-a_n=2ⁿ，即a_n+1=2a_n+2ⁿ，
∴an+12n+1=an2n+12，
∴an+12n+1-an2n=12．a1=1，a12=12，
所以数列{an2n}是以12为首项，12为公差的等差数列．
ii）由i）得an2n=12+12(n-1)=n2，
∴an=n2•2n=n•2n-1，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+a_n=1•2⁰+2•2¹++n•2^n-1，①
∴2S_n=1•2¹+2•2²++n•2ⁿ②
①-②得-S_n=1+2+2²++2^n-1-n•2ⁿ=1-2n1-2-n•2n，
∴S_n=n•2ⁿ-2ⁿ+1=（n-1）•2ⁿ+1．

解析

52

考点

据考高分专家说，试题“对于数列{an}，定义{△an}为数列{.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．