设数列{xn}的所有项都是不等于1的正数，前n项和为Sn，已知点Pn在直线y=kx+b上，，又yn=log0.5xn

题文

设数列{x_n}的所有项都是不等于1的正数，前n项和为S_n，已知点P_n（x_n，S_n）在直线y=kx+b上，（其中，常数k≠0，且k≠1），又y_n=log_0.5x_n．
（1）求证：数列{x_n}是等比数列；
（2）如果y_n=18-3n，求实数k，b的值；
（3）如果存在t，s∈N^*，s≠t，使得点（t，y_s）和（s，y_t）都在直线y=2x+1上，试判断，是否存在自然数M，当n＞M时，x_n＞1恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵点P_n（x_n，S_n），P_n+1（x_n+1，S_n+1）都在直线y=kx+b上，
∴S_n=kx_n+b，S_n+1=kx_n+1+b
两式相减得S_n+1-S_n=kx_n+1-kx_n，即x_n+1=kx_n+1-kx_n，
∵常数k≠0，且k≠1，∴xn+1xn=kk-1（非零常数）
∴数列x_n是等比数列．
（2）由y_n=log_0.5x_n，得xn=(12)yn=8n-6=8-58n-1，
∴kk-1=8，得k=87．
又P_n在直线上，得S_n=kx_n+b，
令n=1得b=S1-87x1=-17x1=-8-57．
（3）∵y_n=log_0.5x_n∴当n＞M时，x_n＞1恒成立等价于y_n＜0恒成立．
又y_n=log_0.5x_n=log_0.5（x₁•q^n-1）=nlog_0.5q+log_0.5x1q
∴数列{y_n}为等差数列
∵存在t，s∈N^*，使得（t，y_s）和（s，y_t）都在y=2x+1上，
∴y_s=2t+1 ①，y_t=2s+1 ②．
①-②得：y_s-y_t=2（t-s），
∵s≠t∴y_n是公差d=-2＜0的等差数列
①+②得：y_s+y_t=2（t+s）+2，
又y_s+y_t=y₁+（s-1）•（-2）+y₁+（t-1）•（-2）=2y₁-2（s+t）+4
由2y₁-2（s+t）+4=2（t+s）+2，得y₁=2（t+s）-1＞0，
即：数列{y_n}是首项为正，公差为负的等差数列，
∴一定存在一个最小自然数M，使yM≥0yM+1＜0，即2(t+s)-1+(M-1)(-2)≥02(t+s)-1+M(-2)＜0
解得t+s-12＜M≤t+s+12．∵M∈N^*，∴M=t+s．
即存在自然数M，其最小值为t+s，使得当n＞M时，x_n＞1恒成立．

解析

xn+1xn

考点

据考高分专家说，试题“设数列{xn}的所有项都是不等于1的正数.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．