已知数列{an}为公差大于0的等差数列，Sn为其前n项和，且a1a6=21，S6=66．求数列{an}的通项公式；若数列{bn}满足bn=xan+3

题文

已知数列{a_n}为公差大于0的等差数列，S_n为其前n项和，且a₁a₆=21，S₆=66．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足bn=xan+3，求{b_n}的前n项和T_n；
（3）若数列{c_n}是等差数列，且c_n=Snn+p，求常数p． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵S₆=66=6(a1+a6)2，∴a₁+a₆=22．再由a₁a₆=21
可得 a₁ 和a₆是方程 x²-22x+21=0的两个根，再由公差大于0可得 a₁=1，a₆=21，
由于a₆=21=a₁+5d，故公差d=4，故 a_n =4n-3．
（2）bn=xan+3=x⁴ⁿ⁺⁹，
当x=0时，bn=xan+3=0，{b_n}的前n项和 T_n=0．
当x=1时，bn=xan+3=1，{b_n}的前n项和 T_n=n．
当x=-1时，bn=xan+3=-1，{b_n}的前n项和T_n=-n．
当x≠0 且x≠±1时，bn=x4n+9，{b_n}的前n项和 T_n=x13(1-x4n)1-x4．
综合可得，{b_n}的前n项和Tn=0，x=0n，x=1-n，x=-1x13(1-x4n)1-x4，x≠±1且x≠0．
（3）∵S_n=n×1+n(n-1)2×4=2n²-n，∴c_n=Snn+p=2n2-nn+p． 
∵{c_n}是等差数列，∴c₁+c₃=2c₂，即 11+p+153+p=2×62+p，
由此解得 p=0，或 p=-12．

解析

6(a1+a6)2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}为公差大于0的等差数列，.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．