设f=x3，等差数列{an}中a3=7，a1+a2+a3=12，记Sn=f(3an+1)，令bn=anSn，数列{1bn}的前n项和为Tn．求{an

题文

设f（x）=x³，等差数列{a_n}中a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，记S_n=f(3an+1)，令b_n=a_nS_n，数列{1bn}的前n项和为T_n．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式和S_n；
（Ⅱ）求证：Tn＜13；
（Ⅲ）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，由a₃=a₁+2d=7，a₁+a₂+a₃=3a₁+3d=12．
解得a₁=1，d=3∴a_n=3n-2
∵f（x）=x³∴S_n=f(3an+1)=a_n+1=3n+1．
（Ⅱ）b_n=a_nS_n=（3n-2）（3n+1）
∴1bn=1(3n-2)(3n+1)=13(13n-2-13n+1)∴Tn=13(1-13n+1)＜13
（Ⅲ）由（2）知，Tn=n3n+1∴T1=14，Tm=m3m+1，Tn=n3n+1∵T₁，T_m，T_n成等比数列．
∴(m3m+1)2=14n3n+1即6m+1m2=3n+4n
当m=1时，7=3n+4n，n=1，不合题意；当m=2时，134=3n+4n，n=16，符合题意；
当m=3时，199=3n+4n，n无正整数解；当m=4时，2516=3n+4n，n无正整数解；
当m=5时，3125=3n+4n，n无正整数解；当m=6时，3736=3n+4n，n无正整数解；
当m≥7时，m²-6m-1=（m-3）²-10＞0，则6m+1m2＜1，而3n+4n=3+4n＞3，
所以，此时不存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列．
综上，存在正整数m=2，n=16，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列．

解析

3an+1

考点

据考高分专家说，试题“设f（x）=x3，等差数列{an}中a3.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．