已知数列{an}中，a1=12，点在直线y=x上，n∈N*．令bn=an+1-an-1，证明：{bn}为等比数列；求数列{a

题文

已知数列{a_n}中，a1=12，点（n，2a_n+1-a_n）在直线y=x上，n∈N^*．
（1）令b_n=a_n+1-a_n-1，证明：{b_n}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设S_n、T_n分别为数列{a_n}、{b_n}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列{Sn+λTnn}为等差数列？若存在，求出λ的值，并给出证明；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：∵点（n，2a_n+1-a_n）在直线y=x上，∴2a_n+1-a_n=n
∵b_n=a_n+1-a_n-1，∴2b_n+1=a_n+1-a_n-1=b_n，
∵a1=12，2a_n+1-a_n=n
∴a₂=34，
∴b₁=a₂-a₁-1=-34≠0
∴{b_n}为等比数列；
（2）a_n+1-a_n=1+b_n=1-34×(12)n-1
叠加可得：a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-a_n-1）+…+（a₂-a₁）+a₁=n-2+3×(12)n
（3）存在λ=2，使数列{Sn+λTnn}是等差数列．
S_n=n(n-3)2+3[1-(12)n]，T_n=32[(12)n-1]
∴S1+λT11=12-34λ，S2+λT22=10-9λ16，S3+λT33=42-21λ48
数列{Sn+λTnn}是等差数列
∴2×10-9λ16=12-34λ+42-21λ48，∴λ=2
当λ=2时，Sn+λTnn=n-32，数列是等差数列
∴当且仅当λ=2时，数列是等差数列．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=12，点（n，.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．