题文
（本题满分18分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）若数列
满足：
是常数），则称数列
为二阶线性递推数列，且定义方程
为数列
的特征方程，方程的根称为特征根； 数列
的通项公式
均可用特征根求得：
①若方程
有两相异实根
，则数列通项可以写成
，（其中
是待定常数）；
②若方程
有两相同实根
，则数列通项可以写成
，（其中
是待定常数）；
再利用
可求得
，进而求得
．
根据上述结论求下列问题：
（1）当
，
（
）时，求数列
的通项公式；
（2）当
，
（
）时，求数列
的通项公式；
（3）当
，
（
）时，记
，若
能被数
整除，求所有满足条件的正整数
的取值集合． 题型：未知 难度：其他题型
答案
(Ⅰ)
(Ⅱ)
（Ⅲ）
解析
（1）由可知特征方程为：
，
…………………3分
所以 设
，由
得到
，
所以
； …………………6分
（2）由
可以得到
设
，则上述等式可以化为：
…………………8分
，所以
对应的特征方程为：
，
…………………10分
所以令
，由
可以得出
所以
…………………11分
即
…………………12分
（3）同样可以得到通项公式
………14分
所以
即
…………………14分
即
，
…………………16分
因此
除以
的余数，完全由
除以
的余数确定，
因为
所以
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由以上计算及
可知，数列
各项除以
的余数依次是：
它是一个以
为周期的数列，从而
除以
的余数等价于
除以
的余数，所以
，
，
即所求集合为：
…………………18分
考点
据考高分专家说，试题“（本题满分18分，第（1）小题6分，第（.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）
仍为等差数列，公差为
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
