题文
（本小题满分10分）设数列
满足：
．
（1）证明：
对
恒成立；
(2)令
，判断
与
的大小，并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）证明略
（2）
解析
解：（1）证法一：当
时，
，不等式成立，
假设
时，
成立 （2分），
当
时，
．（5分）
时，
时成立
综上由数学归纳法可知，
对一切正整数成立 （6分）
证法二：当
时，
，结论成立；
假设
时结论成立，即
（2分）当
时，
由函数
的单增性和归纳假设有
（4分）,
因此只需证：
，
而这等价于
，
显然成立，所以当
是，结论成立；
综上由数学归纳法可知，
对一切正整数成立 （6分）
证法三：由递推公式得
，
（2分）
上述各式相加并化简得
（4分）
又
时，
显然成立， 故
（6分）
（2）解法一：
（8分）
（10分）
又显然
，故
成立 （12分）
解法二：
（由（1）的结论）（8分）
（10分）
所以
（12分）
解法三：
（8分）
（10分）
故
，因此
（12分）
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分10分）设数列满足：．（1）.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）
仍为等差数列，公差为
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
