已知数列{an}中，a1=12、点(n、2an+1-an)在直线y=x上，其中n=1，2，3…．令bn=an-1-an-3，求证数列{bn}是等比数列；（

题文

已知数列{a_n}中，a1=12、点(n、2an+1-an)在直线y=x上，其中n=1，2，3…．
（Ⅰ）令b_n=a_n-1-a_n-3，求证数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅲ）设S_n、T_n分别为数列{a_n}、{b_n}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列{Sn+λTnn}为等差数列？若存在，试求出λ．若不存在，则说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由已知得a1=12，2an+1=an+n，
∵a2=34，a2-a1-1=34-12-1=-34，
又b_n=a_n+1-a_n-1，b_n+1=a_n+2-a_n+1-1，
∴bn+1bn=an+1-an-1an+2-an+1-1=an+1+(n+1)2-an+n2an+1-an-1=an+1-an-12an+1-an-1=12.
∴{b_n}是以-34为首项，以12为公比的等比数列．
（II）由（I）知，bn=-34×(12)n-1=-32×12n，
∴an+1-an-1=-32×12n，
∴a2-a1-1=-32×12，a3-a2-1=-32×122，
…
∴an-an-1-1=-32×12n-1，
将以上各式相加得：
∴an-a1-(n-1)=-32(12+122+…+12n-1)，
∴an=a1+n-1-32×12(1-12n-1)1-12=12+(n-1)-32(1-12n-1)=32n+n-2.
∴an=32n+n-2.
（III）存在λ=2，使数列{Sn+λTnn}是等差数列．
由（I）、（II）知，a_n+2b_n=n-2
∴Sn+2T=n(n+1)2-2nSn+λTnn=n(n+1)2-2n-2Tn+λTnn=n-32+λ-2nTn
又Tn=b1+b2++bn=-34(1-12n)1-12=-32(1-12n)=-32+32n+1Sn+λTnn=n-32+λ-2n(-32+32n+1)
∴当且仅当λ=2时，数列{Sn+λTnn}是等差数列．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=12、点(n、.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．