题文
（本小题满分12分）已知数列
，
与函数
，
，
满足条件：
，
.
（I）若
，
，
，
存在，求
的取值范围；
（II）若函数
为
上的增函数，
，
，
，证明对任意
，
（用
表示）． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（I）-2＜t＜2且
（II）对任意的
，
＜
解析
解法一：由题设知
得
，又已知
,可得
由
其首项为
.于是
又liman存在，可得0＜
＜1,所以-2＜t＜2且
解法二.由题设知tbn+1=2bn+1,且
可得
由
可知
,所以
是首项为
,公
的等比数列.
由
可知，若
存在，则
存在.于是可得0＜
＜1,所以-1＜t
.
=2
解法三:由题设知tbn+1=2bn+1,即
①
于是有
②
②-①得
由
，所以
是首项为b公比为
的等比数列，于是
（b2-b1）+2b.
又
存在，可得0＜
＜1,所以-2＜t＜2且
说明：数列
通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一，其他过程和结果参照以标准.
(Ⅱ)证明：因为
.
下面用数学归纳法证明
＜
.
(1)当n=1时，由f(x)为增函数,且
＜1,得
＜1
＜1
＜
，
即
＜
，结论成立.
（2）假设n=k时结论成立，即
＜
.由f(x)为增函数，得
＜f
即
＜
进而得
＜f(
)即
＜
.
这就是说当n=k+1时，结论也成立.
根据（1）和（2）可知，对任意的
，
＜
.
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）已知数列，与函数，，.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）
仍为等差数列，公差为
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
