设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=λan-1．若a3=a22，求λ的值；是否存在实数λ，使得数列{an}是等差

题文

设S_n为数列{a_n}的前n项和，Sn=λa_n-1（λ为常数，n=1，2，3，…）．
（I）若a₃=a₂²，求λ的值；
（II）是否存在实数λ，使得数列{a_n}是等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在．请说明理由
（III）当λ=2时，若数列{b_n}满足b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，3，…），且b₁=32，令cn=an(an+1) bn，求数列{c_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）因为S_n=λa_n-1，
所以a₁=λa₁-1，a₂+a₁=λa₂-1，a₃+a₂+a₁=λa₃-1，
由a₁=λa₁-1可知λ≠1，
所以a₁=1λ-1，a₂=λ(λ-1)2，a₃=λ2(λ-1)3，
因为a₃=a₂²，
所以λ2(λ-1)4=λ2(λ-1)3，
所以λ=0或λ=2．
（II）假设存在实数λ，使得数列{a_n}是等差数列，则2a₂=a₁+a₃，
由（I）可知，2 λ(λ-1)2=1λ-1+λ2(λ-1)3，
所以2 λ(λ-1)2=2λ2-2λ+1(λ-1)3，即1=0，矛盾，
所以不存在实数λ，使得数列{a_n}是等差数列．
（III）当λ=2时，S_n=2a_n-1，
所以S_n-1=2a_n-1-1，且a₁=1，
所以a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1  （n≥2）．
所以a_n≠0（n∈N^*），且anan-1=2（n≥2）．
所以数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以a_n=2a^n-1（n∈N^*），
因为b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，3，…），且b₁=32，
所以b_n=a_n-1+b_n-1=a_n-1+a_n-2+b_n-2=…=a_n-1+a_n-2+…+a₁+b₁
=2n+12  n≥ 2．
当n=1时上式也成立．
所以b_n=2n+12    n∈N*．
因为cn=an(an+1)bn，
所以cn=2n-1(2n-1+1) 2n+12=2•2n-1(2n-1+1) (2n+)
因为2n-1(2n-1+1) (2n+)=12n-1+1-12n+1，
所以T_n=C₁+C₂+…+C_n
=2(12-12+1+12+1-122+1+…+12n-1+1-12n+1)
=1-22n+1
=2n-12n+1．

解析

1λ-1

考点

据考高分专家说，试题“设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=λ.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．