设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.(1)写出数列{an}的前3项.(2)求数列{a

题文

设{a_n}是正数组成的数列，其前n项和为S_n，并且对于所有的自然数n，a_n与2的等差中项等于S_n与2的等比中项.
(1)写出数列{a_n}的前3项.
(2)求数列{a_n}的通项公式(写出推证过程).
(3)令b_n=

(n∈N^*)，求

 (b₁+b₂+b₃+…+b_n－n). 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) 数列的前3项为2，6，10 ，(2) a_n=4n－2 ，(3)1

解析

(1)由题意，当n=1时，有

，S₁=a₁，
∴

，解得a₁=2

 当n=2时，有

，S₂=a₁+a₂，将a₁=2代入，整理得(a₂－2)²=16，由a₂＞0，解得a₂=6.
当n=3时，有

，S₃=a₁+a₂+a₃，
将a₁=2，a₂=6代入，整理得(a₃－2)²=64，由a₃＞0，解得a₃=10.
故该数列的前3项为2，6，10.
(2）解法一:由(1）猜想数列{a_n}

 有通项公式a_n=4n－2.
下面用数学归纳法证明{a_n}的通项公式是a_n=4n－2，(n∈N^*）.
①当n=1时，因为4×1－2=2，，又在(1)中已求出a₁=2，所以上述结论成立

 
②假设当n=k时，结论成立，即有a_k=4k－2，由题意，有

，将a_k=4k－2. 代入上式，解得2k=

，得S_k=2k²，
由题意，有

，S_k+1=S_k+a_k+1，
将S_k=2k²代入得(

)²=2(a_k+1+2k²)，
整理得a_k+1²－4a_k+1+4－16k²=0，由a_k+1＞0，解得a_k+1=2+4k，
所以a_k+1=2+4k=4(k+1)－2，
即当n=k+1时，上述结论成立.
根据①②，上述结论对所有的自然数n∈N^*成立.
解法二:由题意知

，(n∈N^*)

 整理得，S_n=

(a_n+2)²,
由此得S_n+1=

(a_n+1+2)²，∴a_n+1=S_n+1－S_n=

［(a_n+1+2)²－(a_n+2)²］.
整理得(a_n+1+a_n）(a_n+1－a_n－4)=0，
由题意知a_n+1+a_n≠0，∴a_n+1－a_n=4，
即数列{a_n}为等差数列，其中a₁=2，公差d=4.
∴a_n=a₁+(n－1)d=2+4(n－1)，即通项公式为a_n=4n－2.
解法三:由已知得

,(n∈N^*) ①，
所以有

②，
由②式得

，
整理得S_n+1－2

·

+2－S_n=0，
解得

，
由于数列{a_n}为正项数列，而

，
因而

，
即{S_n}是以

为首项，以

为公差的等差数列.
所以

=

+(n－1)

=

n,S_n=2n²，
故a_n=

即a_n=4n－2(n∈N^*).
(3)令c_n=b_n－1，则c_n=

考点

据考高分专家说，试题“设{an}是正数组成的数列，其前n项和为.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．