题文
已知点的序列An(xn，0),n∈N,其中x1=0,x2=a(a＞0),A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段An－2An－1的中点，….(1)写出xn与xn－1、xn－2之间关系式(n≥3);
(2)设an=xn+1－xn，计算a1,a2,a3，由此推测数列{an}的通项公式，并加以证明；
(3)求
xn 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1) xn=
; (2) an=(－
)n-1a(n∈N) ，(3)
a
解析
(1)当n≥3时，xn=;
由此推测an=(－
)n-1a(n∈N)
证法一:因为a1=a＞0,且
(n≥2)
所以an=(－
)n-1a
证法二: 用数学归纳法证明:
(ⅰ)当n=1时，a1=x2－x1=a=(－
)0a,公式成立；
(ⅱ)假设当n=k时，公式成立，即ak=(－
)k－1a成立.
那么当n=k+1时，
ak+1=xk+2－xk+1=
据(ⅰ)(ⅱ)可知，对任意n∈N，公式an=(－
)n-1a成立.
(3)当n≥3时，有
xn=(xn－xn－1)+(xn－1－xn－2)+…+(x2－x1)+x1=an－1+an－2+…+a1,
由(2)知{an}是公比为－
的等比数列，所以
a.
考点
据考高分专家说，试题“ 已知点的序列An(xn，0),n∈N,.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）
仍为等差数列，公差为
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
