Pn是函数y=x2图象上的动点，以Pn为圆心的⊙Pn与x轴都相切，且⊙Pn与⊙Pn+1又彼此外切，若x1=1，xn+1＜xn．求证

题文

P_n（x_n，y_n）是函数y=x²（x≥0）图象上的动点，以P_n为圆心的⊙P_n与x轴都相切，且⊙P_n与⊙P_n+1又彼此外切，若x₁=1，x_n+1＜x_n．
（1）求证：数列{1xn}是等差数列；
（2）设⊙P_n的面积为S_n，求证：S1+S2+…+Sn＜3π2． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证：由⊙P_n与x轴都相切，知⊙P_n的半径r_n=y_n=x_n²；又⊙P_n与⊙P_n+1外切，得：|PnPn+1|=rn+rn+1⇒(xn-xn+1)2+(yn-yn+1)2=yn+yn+1⇒（x_n-x_n+1）²=4y_ny_n+1=4x_n²x_n+1²．
由x_n＞x_n+1＞0得：x_n-x_n+1=2x_nx_n+1⇒1xn+1-1xn=2，
故{1xn}是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）S₁=π（x₁）⁴S₂=π（x₂）⁴…S_n=π（x_n）⁴
约去 π证明（x₁）²+（x₂）²+…（x_n）²＜32即可
由（1）知（x1）²+（x₂）²+…（x_n）²
=1+（ 13）²+（ 15）²+…（ 12n-1）²
因为1+（ 12）²+（ 13）²+（ 14）²+…（ 1n）2
=[1+（ 13）²+（ 15）²+…（ 12n-1）^2]+14[1+（ 12）²+（ 13）²+（ 14）²+…（ 1n）²]
即1+（ 13）²+（ 15）²+…（ 12n-1）²=341+（ 12）²+（ 13）²+（ 14）²+…（ 1n）2
又因为 1+[（ 12）²+（ 13）²+（ 14）²+（ 15）²+（ 16）²+（ 17）²]+（ 18）²+…
＜1+[（ 12）²+（ 12）²+（ 14）²+（ 14）²+（ 14）²+（ 14）²+8（ 18）²+…
=1+12+14+18…=2
即就是1+（ 12）²+（ 13）²+（ 14）²+…（ 1n）²＜2
所以 1+（ 13）²+（ 15）²+…（ 12n-1）＜34×2=32
即1+（ 13）²+（ 15）²+…（ 12n-1）＜32
所以 S1+S2+S3+…+Sn＜3π2
即 Tn＜3π2

解析

(xn-xn+1)2+(yn-yn+1)2

考点

据考高分专家说，试题“Pn（xn，yn）是函数y=x2（x≥0.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．