在等差数列{an}中，已知a1=20,前n项和为Sn，且S10=S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值.

题文

在等差数列{a_n}中，已知a₁=20,前n项和为S_n，且S₁₀=S₁₅，求当n取何值时，S_n取得最大值，并求出它的最大值. 题型：未知 难度：其他题型

答案

当n=12或13时，S_n取得最大值，且最大值为S₁₂= 130.

解析

方法一 ∵a₁=20，S₁₀=S₁₅，
∴10×20+

d=15×20+

d，
∴d=-

.                                                                  4分
∴a_n=20+（n-1）×(-

)=-

n+

.                                           8分
∴a₁₃="0.                                                                   " 10分
即当n≤12时，a_n＞0,n≥14时，a_n＜0.
∴当n=12或13时，S_n取得最大值，且最大值为
S₁₂=S₁₃=12×20+



(-

)="130.                          "                  14分
方法二 同方法一求得d=-

.                                                 4分
∴S_n=20n+

·(-

)
=-

n²+

n
=-



+

.                                                      8分
∵n∈N₊,∴当n=12或13时，S_n有最大值，
且最大值为S₁₂=S₁₃="130.                                    "                   14分
方法三 同方法一得d=-

.                                                   4分
又由S₁₀=S₁₅,得a₁₁+a₁₂+a₁₃+a₁₄+a₁₅="0.                                             " 8分
∴5a₁₃=0,即a₁₃="0.                                                           " 10分
∴当n=12或13时，S_n有最大值，
且最大值为S₁₂=S₁₃="130.                                                      " 14分

考点

据考高分专家说，试题“在等差数列{an}中，已知a1=20,前.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．