若数列{bn}满足：对于n∈N*，都有bn+2-bn=d，则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．如：若cn=4n-1，当n为奇数时4n+9，当n为偶数

题文

若数列{b_n}满足：对于n∈N^*，都有b_n+2-b_n=d（常数），则称数列{b_n}是公差为d的准等差数列．如：若cn=4n-1，当n为奇数时4n+9，当n为偶数时.则{c_n}是公差为8的准等差数列．
（1）求上述准等差数列{c_n}的第8项c₈、第9项c₉以及前9项的和T₉；
（2）设数列{a_n}满足：a₁=a，对于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n．求证：{a_n}为准等差数列，并求其通项公式；
（3）设（2）中的数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₆₃＞2012，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）c₈=41，c₉=35（2分）
T9=(3+35)×52+(17+41)×42=211．（4分）
（2）∵a_n+a_n+1=2n①a_n+1+a_n+2=2（n+1）②
②-①得a_n+2-a_n=2．
所以，{a_n}为公差为2的准等差数列．                                （2分）
当n为奇数时，an=a+(n+12-1)×2=n+a-1；                        （2分）
当n为偶数时，an=2-a+(n2-1)×2=n-a，（2分）
∴an=n+a-1，(n为奇数)n-a，(n为偶数)
（3）解一：在S₆₃=a₁+a₂+…+a₆₃中，有32各奇数项，31各偶数项，
所以，S63=32a+32×312×2+31(2-a)+31×302×2=a+1984．（4分）
∵S₆₃＞2012，
∴a+1984＞2012．
∴a＞28．                         （2分）
解二：当n为偶数时，a₁+a₂=2×1，a₃+a₄=2×3，…a_n-1+a_n=2×（n-1）
将上面各式相加，得Sn=12n2．
∵S63=S62+a63=12×622+63+a-1=a+1984（4分）
∵S₆₃＞2012，
∴a+1984＞2012．
∴a＞28．                         （2分）

解析

(3+35)×52

考点

据考高分专家说，试题“若数列{bn}满足：对于n∈N*，都有b.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．