已知数列{a}中,a=2,前n项和为S,且S=.(1)证明数列{an+1-an}是等差数列,并求出数列{an}的通项公式(2)设bn=,数列{bn}的前n项和为

题文

已知数列{a

}中,a

=2,前n项和为S

,且S

=.
(1)证明数列{a_n+1-a_n}是等差数列,并求出数列{a_n}的通项公式
(2)设b_n=,数列{b_n}的前n项和为T_n,求使不等式T_n>
对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）a_n=n(n∈N^*) ；（Ⅱ）k的最大值为18；

解析

(1)由题意,当n=1时,a₁=S₁=,则a₁=1,a₂=2,则a₂-a₁=1,
当n≥2时,a_n=S_n-S_n-1=-=[na_n-(n-1)a_n-1+1]a_n+1=[(n+1)a_n+1-na_n+1]      
则a_n+1-a_n=[(n+1)a_n+1-2na_n+(n-1)a_n-1],
即(n-1)a_n+1-2(n-1)a_n+(n-1)a_n-1=0,
即a_n+1-2a_n+a_n-1="0,  " 即a_n+1-a_n=a_n-a_n-1
则数列{a_n+1-a_n}是首项为1,公差为0的等差数列.
从而a_n-a_n-1=1,,则数列{a_n}是首项为1,公差为1的等差数列,
所以,a_n=n(n∈N^*)              
(2)b_n===(- )
所以,T_n=b₁+b₂+…+b_n=[(1-)+(-)+…+(-)]
=(1-)=                   
由于T_n+1-T_n=-=>0,
因此T_n单调递增,故T_n的最小值为T₁=
令>,得k<19,所k的最大值为18

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{a}中,a=2,前n项和为S,.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．