已知点在函数f=-2x-2的图象上，数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn是6Sn与8n的等差中项．（

题文

已知点（n，a_n）（n∈N^*）在函数f（x）=-2x-2的图象上，数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n是6S_n与8n的等差中项．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=b_n+8n+3，数列{d_n}满足d₁=c₁，dn+1=cdn（n∈N*）．求数列{d_n}的前n项和D_n；
（3）设g（x）是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数x₁，x₂，恒有g（x₁x₂）=x₁g（x₂）+x₂g（x₁）成立，且g（2）=a（a为常数，a≠0），试判断数列{g(dn+12)dn+1}是否为等差数列，并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）依题意得a_n=-2n-2，故a₁=-4．
又2T_n=6S_n+8n，即T_n=3S_n+4n，
∴当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=3（S_n-S_n-1）+4=3a_n+4=-6n-2．
又b₁=T₁=3S₁+4=3a₁+4=-8，也适合上式，
∴b_n=-6n-2（n∈N*）．
（Ⅱ）∵c_n=b_n+8n+3=-6n-2+8n+3=2n+1（n∈N*），
dn+1=cdn=2d_n+1，
因此d_n+1+1=2（d_n+1）（n∈N*）．
由于d₁=c₁=3，
∴{d_n+1}是首项为d₁+1=4，公比为2的等比数列．
故d_n+1=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴d_n=2ⁿ⁺¹-1．
D_n=（2²+2³++2ⁿ⁺¹）-n=4(2n-1)2-1-n=2n+2-n-4．
（Ⅲ）g(dn+12)=g(2n)=2n-1g(2)+2g(2n-1)
则g(dn+12)dn+1=g(2n)2n+1=2n-1g(2)+2g(2n-1)2n+1=a4+g(2n-1)2n=a4+g(dn-1+12)dn-1+1
∴g(dn+12)dn+1-g(dn-1+12)dn-1+1=a4
因为已知a为常数，则数列{g(dn+12)dn+1}是等差数列．

解析

4(2n-1)2-1

考点

据考高分专家说，试题“已知点（n，an）（n∈N*）在函数f（.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．