已知函数f(x)=xx+1．数列{an}满足：an＞0，a1=1，且an+1=f(an)，记数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn=22[1an+(2+1)

题文

（Ⅰ）已知函数f(x)=xx+1．数列{a_n}满足：a_n＞0，a₁=1，且an+1=f(an)，记数列{b_n}的前n项和为S_n，且Sn=22[1an+(2+1)n]．求数列{b_n}的通项公式；并判断b₄+b₆是否仍为数列{b_n}中的项？若是，请证明；否则，说明理由．
（Ⅱ）设{c_n}为首项是c₁，公差d≠0的等差数列，求证：“数列{c_n}中任意不同两项之和仍为数列{c_n}中的项”的充要条件是“存在整数m≥-1，使c₁=md”． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）因为an+1=f(an)=anan+1，
所以1an+1=1an+1，
即1an+1-1an=1，1an=1+(n-1)=n，
即an=1n2．（4分）
因为Sn=22[1an+(2+1)n]=22n2+(1+22)n，
当n=1时，S1=b1=2+1，
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=1+2 n，
所以bn=2 n+1(n∈N*)．（6分）
又因为b4+b6=42+1+62+1=102+2，
所以令bt=102+2 (t∈N*)，
则102+2=2t+1；
得到t=10+22与t∈N^*矛盾，
所以b₄+b₆不在数列{b_n}中．（8分）
（Ⅱ）充分性：若存在整数m≥-1，使c₁=md．
设c_r，c_t为数列{c_n}中不同的两项，
则c_r+c_t=c₁+（r-1）d+c₁+（t-1）d=c₁+（r+m+t-2）d=c₁+[（r+m+t-1）-1]d．
又r+t≥3且m≥-1，所以r+m+t-1≥1．
即c_r+c_t是数列{c_n}的第r+m+t-1项．（11分）
必要性：若数列{c_n}中任意不同两项之和仍为数列{c_n}中的项，
则c_s=c₁+（s-1）d，c_t=c₁+（t-1）d，
（s，t为互不相同的正整数）
则c_s+c_t=2c₁+（s+t-2）d，令c_s+c_t=c_l，
得到2c₁+（s+t-2）d=c₁+（l-1）d（n，t，s∈N^*），
所以c₁=（l-s-t+1）d，
令整数m=l-s-t+1，所以c₁=md． （14分）
下证整数m≥-1
若设整数m＜-1，则-m≥2．令k=-m，
由题设取c₁，c_k使c₁+c_k=c_r（r≥1）
即c₁+c₁+（k-1）d=c₁+（r-1）d，
所以md+（-m-1）d=（r-1）d
即rd=0与r≥1，d≠0相矛盾，所以m≥-1．
综上，数列{c_n}中任意不同两项之和仍为数列{c_n}中的项的充要条件是存在整数m≥-1，使c₁=md．（16分）

解析

an+1

考点

据考高分专家说，试题“（Ⅰ）已知函数f(x)=xx+1．数列{.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．