设数列的前项的和，求首项与通项；设，，证明：.

题文

设数列

的前

项的和

，


（Ⅰ）求首项

与通项

；
（Ⅱ）设

，

，证明：

. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）a₁=2，a_n=4ⁿ－2ⁿ, n="1,2,3," …,；（Ⅱ）同解析；

解析

(Ⅰ)由 S_n=a_n－×2ⁿ⁺¹+, n=1,2,3，… , ① 
得 a₁=S₁= a₁－×4+所以a₁=2.
再由①有 S_n－1=a_n－1－×2ⁿ+, n=2,3，4,…
将①和②相减得: a_n=S_n－S_n－1= (a_n－a_n－1)－×(2ⁿ⁺¹－2ⁿ),n="2,3," …
整理得: a_n+2ⁿ=4(a_n－1+2^n－1),n="2,3," … ,
因而数列{ a_n+2ⁿ}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,
即 : a_n+2ⁿ=4×4^n－1= 4ⁿ, n="1,2,3," …,
因而a_n=4ⁿ－2ⁿ, n="1,2,3," …,
(Ⅱ)将a_n=4ⁿ－2ⁿ代入①得:
S_n= ×(4ⁿ－2ⁿ)－×2ⁿ⁺¹ + = ×(2ⁿ⁺¹－1)(2ⁿ⁺¹－2)
= ×(2ⁿ⁺¹－1)(2ⁿ－1)   
T_n= = × = ×(－ )
所以,

=

－ )
= ×(－ ) <

考点

据考高分专家说，试题“设数列的前项的和，（Ⅰ）求首项与通项；（.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．