(本小题满分13分)随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款1.1升排量的Q型车、R型车的销量引起市场的关注.已知2010年1月Q型车的销量为a辆，通过分析

题文

(本小题满分13分)
随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款1.1升排量的Q型车、R型车的销量引起市场的关注.已知2010年1月Q型车的销量为a辆，通过分析预测，若以2010年1月为第1月，其后两年内Q型车每月的销量都将以1%的比率增长，而R型车前n个月的销售总量T_n大致满足关系式：T_n＝228a(1.01²ⁿ－1)(n≤24，n∈N^*).
(1)求Q型车前n个月的销售总量S_n的表达式；
(2)比较两款车前n个月的销售总量S_n与T_n的大小关系；
(3)试问从第几个月开始Q型车的月销售量小于R型车月销售量的20%，并说明理由.
(参考数据：≈1.09，≈8.66) 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：(1)Q型车每月的销售量{a_n}是以首项a₁＝a，
公比q＝1＋1%＝1.01的等比数列.(2分)
前n个月的销售总量S_n＝＝100a(1.01ⁿ－1)(n∈N^*，且n≤24).
(2)∵S_n－T_n＝100a(1.01ⁿ－1)－228a(1.01²ⁿ－1)＝100a(1.01ⁿ－1)－228a(1.01ⁿ－1)(1.01ⁿ＋1)＝－228a(1.01ⁿ－1)·(1.01ⁿ＋).
又1.01ⁿ－1>0,1.01ⁿ＋>0，∴S_n<T_n.(8分)
(3)记Q、R两款车第n个月的销量分别为a_n和b_n，
则a_n＝a×1.01^n－1.


当n≥2时，b_n＝T_n－T<sub>n－

1</sub>＝228a(1.01²ⁿ－1)－228a(1.01^2n－2－1)＝228a×(1.01²－1)×1.01^2n－2＝4.5828a1.01^2n－2.(10分)
b₁＝4.5828a(或228×0.0201a)，显然20%×b₁<a₁.
当n≥2时，若a_n<20%×b_n，
即a×1.01^n－1<×4.5828a×1.01^2n－2，
1.01^2(n－1)>×1.01^n－1,1.01^n－1>≈1.09，n－1>≈8.66.
∴n≥10，即从第10个月开始，Q型车月销售量小于R型车月销售量的20%.(13分)

解析

略

考点

据考高分专家说，试题“(本小题满分13分)随着国家政策对节能环.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．