设m个不全相等的正数a1，a2，…，am依次围成一个圆圈，若m=2009，且a1，a2，…，a1005是公差为d的等差数列，而a1，a2009，

题文

设m个不全相等的正数a₁，a₂，…，a_m（m≥7）依次围成一个圆圈，
（Ⅰ）若m=2009，且a₁，a₂，…，a₁₀₀₅是公差为d的等差数列，而a₁，a₂₀₀₉，a₂₀₀₈，…，a₁₀₀₆是公比为q=d的等比数列；数列a₁，a₂，…，a_m的前n项和S_n（n≤m）满足：S₃=15，S₂₀₀₉=S₂₀₀₇+12a₁，求通项a_n（n≤m）；
（Ⅱ）若每个数a_n（n≤m）是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：a₁+…+a₆+a₇²+…+a_m²＞ma₁a₂a_m． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）因a₁，a₂₀₀₉，a₂₀₀₈，a₁₀₀₆是公比为d的等比数列，
从而a₂₀₀₉=a₁d，a₂₀₀₈=a₁d²，
由S₂₀₀₉=S₂₀₀₇+12a₁得a₂₀₀₈+a₂₀₀₉=12a₁，
解得d=3或d=-4（舍去）．
∴d=3，
又S₃=3a₁+3d=15．解得a₁=2
从而当n≤1005时，a_n=a₁+（n-1）d=2+3（n-1）=3n-1
当1006≤n≤2009时，由a₁，a₂₀₀₉，a₂₀₀₈，a₁₀₀₆是公比为d的等比数列
得a_n=a₁d^{2009-（n-1）}=a₁d^2010-n（1006≤n≤2009）
因此an=3n-1，n≤10052•32009-n，1006≤n≤2009
（II）由题意a_n²=a_n-1²a_n+1²（1＜n＜m），a_m²₌a_m-1²a₁²，a₁²=a_m²a₂²
得an=an-1an+1(1＜n＜m)，①am=am-1a1②a1=ama2③
有①得a3=a2a1，a4=1a1，a5=1a2，a6=a1a2④
由①，②，③得a₁a₂a_n=（a₁a₂a_n）²，
故a₁a₂a_n=1．⑤
又ar+3=ar+2ar+1=ar+1ar•1ar+1=1ar(1≤r≤m-3)，
故有ar+6=1ar+3=ar(1≤r≤m-6)．⑥
下面反证法证明：m=6k
若不然，设m=6k+p，其中1≤p≤5
若取p=1即m=6k+1，则由⑥得a_m=a_6k+1=a₁，
而由③得am=a1a2，故a1=a1a2，
得a₂=1，由②得am-1=ama1，从而a6=a6k=am-1，
而a6=a1a2，故a1=a2=1，由④及⑥可推得a_n=1（1≤n≤m）与题设矛盾
同理若P=2，3，4，5均可得a_n=1（1≤n≤m）与题设矛盾，
因此m=6k为6的倍数
由均值不等式得a1+a2+a3++a6=(a1+1a1)+(a2+1a2)+(a2a1+a1a2)≥6
由上面三组数内必有一组不相等（否则a₁=a₂=a₃=1，
从而a₄=a₅═a_m=1与题设矛盾），故等号不成立，
从而a₁+a₂+a₃++a₆＞6又m=6k，由④和⑥得
a₇²++a_m²=（a₇²++a₁₂²）++（a_6k-5²++a_6k²）
=（k-1）（a₁²++a₆²）
=(k-1)(a21+1a21+a22+1a22+a23+1a23)≥6(k-1)
因此由⑤得a₁+a₂+a₃++a₆+a₇²++a_m²＞6+6（k-1）=6k=m=ma₁a₂a₃a_m

解析

3n-1，n≤10052•32009-n，1006≤n≤2009

考点

据考高分专家说，试题“设m个不全相等的正数a1，a2，…，am.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．