已知：函数f(x)=2x+33x，数列{an}对n≥2，n∈N总有an=f(1an-1)，a1=1；求{an}的通项公式．求和：Sn=a1a2-a2

题文

已知：函数f(x)=2x+33x，数列{a_n}对n≥2，n∈N总有an=f(1an-1)，a1=1；
（1）求{a_n}的通项公式．
（2）求和：S_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1
（3）若数列{b_n}满足：①{b_n}为{1an}的子数列（即{b_n}中的每一项都是{1an}的项，且按在{1an}中的顺序排列）②{b_n}为无穷等比数列，它的各项和为12．这样的数列是否存在？若存在，求出所有符合条件的数列{b_n}，写出它的通项公式，并证明你的结论；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由f(x)=2x+33x，又an=f(1an-1)=2an-1+33an-1=2+3an-13=an-1+23（2分）
所以，{a_n}是以a₁=1为首项，23为公差的等差数列，即an=2n+13（n∈N^*）（4分）
（2）当n为偶数，an-1an-anan+1=an(an-1-an+1)=-2dan=-43an
所以 Sn=-43(a2+a4+…an)=-43a2+an2n2=-29n2-23n（6分）
当n为奇数，则n-1为偶数，Sn=Sn-1+anan+1=-29(n-1)2-23(n-1)+2n+132n+33=2n2+6n+79（8分）
综上：Sn=-29n2-23nn为偶数2n2+6n+79n为奇数（10分）
（3）设b1=32k+1，公比q=1m＞0，则b1qn=32k+1•1mn=32p+1（k，p∈N^*）对任意的n∈N^*均成立，故m是正奇数，又S存在，所以m＞1（12分）
当m=3时，S=12，此时b1=39，bn=33n+1，成立                 （13分）
当m=5时，S=12，此时b1=25∉{1an}故不成立                   （14分）
m=7时，S=12，此时b1=37，bn=37n，成立                    （15分）
当m≥9时，1-1m≥89，由S=12，得b1≥49，设b1=32k+1，则k≤238，又因为k∈N^*，所以k=1，2，此时b₁=1或b1=35分别代入S=b11-q=12，得到q＜0不合题意（18分）
由此，满足条件（3）的{b_n}只有两个，即bn=33n+1或bn=37n（20分）

解析

2x+33x

考点

据考高分专家说，试题“已知：函数f(x)=2x+33x，数列{.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．