等差数列{an}的前n项的和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和为_________.

题文

等差数列{a_n}的前n项的和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和为_________. 题型：未知 难度：其他题型

答案

210

解析

解法一: 将S_m=30,S_2m=100代入S_n=na₁+

d,得:


                                              



解法二:由

知，
要求S_3m只需求m［a₁+

］,
将②－①得ma₁+

d=70,∴S_3m=210.
解法三:由等差数列{a_n}的前n项和公式知，S_n是关于n的二次函数，即S_n=An²+Bn(A、B是常数）.
将S_m=30,S_2m=100代入，得


,∴S_3m=A·(3m)²+B·3m=210
解法四:
S_3m=S_2m+a_2m+1+a_2m+2+…+a_3m
=S_2m+(a₁+2md)+…+(a_m+2md)
=S_2m+(a₁+…+a_m)+m·2md
=S_2m+S_m+2m²d

 
由解法一知d=

,代入得S_3m=210

 
解法五:根据等差数列性质知

 S_m,S_2m－S_m,S_3m－S_2m也成等差数列，
从而有: 2(S_2m－S_m)=S_m+(S_3m－S_2m)
∴S_3m=3(S_2m－S_m)=210
解法六:∵S_n=na₁+

d,
∴

=a₁+

d
∴点(n,

)是直线y=

+a₁上的一串点，
由三点(m,

),(2m,

),(3m,

)共线，易得S_3m=3(S_2m－S_m)=210

 
解法七: 令m=1得S₁=30，S₂=100，得a₁=30,a₁+a₂=100,∴a₁=30,a₂=70
∴a₃=70+(70－30)=110
∴S₃=a₁+a₂+a₃=210

考点

据考高分专家说，试题“ 等差数列{an}的前n项的和为30，前.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．