在等比数列{an}中，a1＞1，公比q＞0．设bn=log2an，且b1+b3+b5=6，b1b3b5=0．求证：数列{bn}是等差数列；（2

题文

在等比数列{a_n}（n∈N^*）中，a₁＞1，公比q＞0．设b_n=log₂a_n，且b₁+b₃+b₅=6，b₁b₃b₅=0．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）求{b_n}的前n项和S_n及{a_n}的通项a_n；
（3）试比较a_n与S_n的大小． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：∵b_n=log₂a_n，
∴b_n+1-b_n=log₂an+1an=log₂q为常数．
∴数列{b_n}为等差数列且公差d=log₂q．
（2）∵b₁+b₃+b₅=6，∴b₃=2．
∵a₁＞1，∴b₁=log₂a₁＞0．
∵b₁b₃b₅=0，∴b₅=0．
∴b1+2d=2b1+4d=0.解得b1=4d=-1.
∴S_n=4n+n(n-1)2×（-1）=9n-n22．
∵log2q=-1log2a1=4∴q=12a1=16.
∴a_n=2^5-n（n∈N^*）．
（3）显然a_n=2^5-n＞0，当n≥9时，S_n=n(9-n)2≤0．
∴n≥9时，a_n＞S_n．
∵a₁=16，a₂=8，a₃=4，a₄=2，a₅=1，a₆=12，a₇=14，a₈=18，S₁=4，S₂=7，S₃=9，S₄=10，S₅=10，S₆=9，S₇=7，S₈=4，
∴当n=3，4，5，6，7，8时，a_n＜S_n；
当n=1，2或n≥9时，a_n＞S_n．

解析

an+1an

考点

据考高分专家说，试题“在等比数列{an}（n∈N*）中，a1＞.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．