等比数列{an}中，对任意n≥2，n∈N时都有an-1，an+1，an成等差，求公比q的值；设Sn是等比数列{an}的前n项和，当S3，S9，S6成

题文

（1）等比数列{a_n}中，对任意n≥2，n∈N时都有a_n-1，a_n+1，a_n成等差，求公比q的值；
（2）设S_n是等比数列{a_n}的前n项和，当S₃，S₉，S₆成等差时，是否有a₂，a₈，a₅一定也成等差数列？说明理由；
（3）设等比数列{a_n}的公比为q，前n项和为S_n，是否存在正整数k，使S_m-k，S_m+k，S_m成等差且a_n-k，a_n+k，a_n也成等差，若存在，求出k与q满足的关系；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n≥2，n∈N时，a_n-1，a_n+1，a_n成等差，故有a_n-1+a_n=2a_n+1 ，1+q=2q²．
解得q=1或q=-12．…5分
（2）当q=1时S_n=na₁，显然3a₁，9a₁，6a₁不是等差数列，
所以q≠1，Sn=a1(1-qn)1-q．由S₃，S₉，S₆成等差数列得a1(1-q3)1-q+a1(1-q6)1-q=2a1(1-q9)1-q，
化简可得q³+q⁶=2q⁹，求得q3=-12 或q³=1（不合题意）所以q3=-12．
所以 1+q³=2q⁶，a2+a2q3=2a2q6，a₂+a₅=2a₈．
即一定有a₂，a₈，a₅成等差数列．…11分
（3）假设存在正整数k，使S_m-k，S_m+k，S_m成等差且a_n-k，a_n+k，a_n也成等差．
当q=1时S_n=na₁，显然（m-k）a₁，（m+k）a₁，ma₁不是等差数列，
所以q≠1，Sn=a1(1-qn)1-q． …13分
由S_m-k，S_m+k，S_m成等差数列得a1(1-qm-k)1-q+a1(1-qm)1-q=2a1(1-qm+k)1-q，
即 q^m-k+q^m=2q^m+k ，即 1+q^k=2q^2k． 解得 qk=-12，或q^k=1．…16分
当k为偶数时，q=-1，则有S_m-k=S_m+k=S_m且a_n-k=a_n+k=a_n．
当k为奇数时，qk=-12；∴1+q^k=2q^2k，∴an-k+an-kqk=2an-kq2k，
∴a_n-k+a_n=2a_n+k．
综上所述，存在正整数k（k＜m，k＜n）满足题设，当k为偶数时，q=-1；当k为奇数时，qk=-12．…18分．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“（1）等比数列{an}中，对任意n≥2，.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．