已知，数列{an}有a1=a，a2=2，对任意的正整数n，Sn=a1+a2+…+an，并有Sn满足Sn=n(an-a1)2．求a的值；求证数列{an

题文

已知，数列{a_n}有a₁=a，a₂=2，对任意的正整数n，S_n=a₁+a₂+…+a_n，并有S_n满足Sn=n(an-a1)2．
（1）求a的值；
（2）求证数列{a_n}是等差数列；
（3）对于数列{b_n}，假如存在一个常数b使得对任意的正整数n都有b_n＜b且limn→∞bn=b，则称b为数列{b_n}的“上渐进值”，令pn=Sn+2Sn+1+Sn+1Sn+2，求数列{p₁+p₂+…+p_n-2n}的“上渐进值”． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知，得s1=1•(a-a)2=a1=a，∴a=0…（4分）
（2）由a₁=0得Sn=nan2，则Sn+1=(n+1)an+12，
∴2（S_n+1-S_n）=（n+1）a_n+1-na_n，即2a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n，
于是有（n-1）a_n+1=na_n，并且有na_n+2=（n+1）a_n+1，
∴na_n+2-（n-1）a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n，即n（a_n+2-a_n+1）=n（a_n+1-a_n），
而n是正整数，则对任意n∈N都有a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，
∴数列{a_n}是等差数列，其通项公式是a_n=2（n-1）．…（10分）
（3）∵Sn=n(n-1)•22=n(n-1)∴pn=(n+2)(n+1)(n+1)n+(n+1)n(n+2)(n+1)=2+2n-2n+2
∴p₁+p₂+p₃+…+p_n-2n=(2+21-23)+(2+22-24)+…+(2+2n-2n+2)-2n=2+1-2n+1-2n+2；由n是正整数可得p₁+p₂+…+p_n-2n＜3，
并且有limn→∞(p1+p2+…+pn-2n)=3，
∴数列{p₁+p₂+…+p_n-2n}的“上渐进值”等于3．…（18分）

解析

1•(a-a)2

考点

据考高分专家说，试题“已知，数列{an}有a1=a，a2=2，.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．