已知数列{an}中，a2=2，前n项和为Sn，且Sn=n(an+1)2．证明数列{an+1-an}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；设bn

题文

已知数列{a_n}中，a₂=2，前n项和为Sn，且Sn=n(an+1)2．
（I）证明数列{a_n+1-a_n}是等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（II）设bn=1(2an+1)(2an-1)，数列{b_n}的前n项和为T_n，求使不等式Tn＞k57对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由题意，当n=1时，a1=S1=a1+12，则a1=1．
a₂=2，则a₂-a₁=1．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n(an+1)2-(n-1)(an-1+1)2=12[nan-(n-1)an-1+1]，an+1=12[(n+1)an+1-nan+1]，
则an+1-an=12[(n+1)an+1-2nan+(n-1)an-1]，
则（n-1）a_n+1-2（n-1）a_n+（n-1）a_n-1=0，
即a_n+1-2a_n+a_n-1=0，
即a_n+1-a_n=a_n-a_n-1．
则数列{a_n+1-a_n}是首项为1，公差为0的等差数列．…（6分）
从而a_n-a_n-1=1，则数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列．
所以，a_n=n（n∈N^*）…（8分）
（II）bn=1(2an+1)(2an-1)=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)…（10分）
所以，Tn=b1+b2+…+bn=12[(1-13)+(13-15)+…+(12n-1-12n+1)]
=12(1-12n+1)=n2n+1．…（12分）
由于Tn+1-Tn=n+12n+3-n2n+1=1(2n+3)(2n+1)＞0．
因此T_n单调递增，
故T_n的最小值为T1=13…（14分）
令13＞k57，得k＜19，
所以k的最大值为18．…（16分）

解析

a1+12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a2=2，前n项和为.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．