集合为集合的个不同的子集，对于任意不大于的正整数满足下列条件：①，且每一个至少含有三个元素；②的充要条件是。为了表示这些子集，作行列

题文

（本题满分 13分）
集合

为集合

的

个不同的子集，对于任意不大于

的正整数

满足下列条件：
①

，且每一个

至

少含有三个元素；
②

的充要条件是

（其中

）。
为了表示这些子集，作

行

列的数表（即

数表），规定第

行第

列数为：

。
（1）该表中每一列至少有多少个1；若集合

，请完成下面

数表（填符合题意的一种即可）；



（2）用含

的代数式表示

数表

中1的个数

，并证明

；
（3）设数列

前

项和为

，数列

的通项公式为：

，证明不等式：

对任何正整数

都成立。 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）见解析。
（2）

，证明见解析。
（3）证明见解析。

解析

（1）根据条件①每个

中至少含有三个元素，作出的数表每一列至少有三个1。


数表如下：
 
1
2
3
4
5
6
7
1
0
0
0
0
1
1
1
2
1
0
0
1
0
0
1


3
1
1
0
0
0
1
0
4
1
0
1
0
1
0
0
5
0
1
1
0
0
0
1
6
0
1
0
1
1
0
0
7
0
0
1
1
0
1
0
 
（2）题设条件①中的

表明的一条对角线上数字都是0，题设条件②表明除对角线以外，

与

恰好一个为1，而另一个为0，即数表中除该对角线以外，0与1各占一半，故数表中共有

个1。另一方面，根据题设条件①每一个

至少含有三个元素得：作出的

数表的每一列至少有3个1，所以整个

数表（共有

列）至少有

个1，因此列出不等式：

，解得

。
（3）


检验

也成立，故




证法一：要证：

，只要证：




，


故只要证：

，
即只要证

：

， 又



所以命题得证。
证法二：同上 

    

  又



所以 


即

，故

考点

据考高分专家说，试题“（本题满分 13分）集合为集合的个不同的.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．