已知无穷数列{an}中，a1，a2，…，am是首项为10，公差为－2的等差数列；am＋1，am＋2，…，a2m是首项为，公比为的等比数列（其中 m≥3，m∈N*

题文

已知无穷数列{a_n}中，a₁，a₂，…，a_m是首项为10，公差为－2的等差数列；a_m＋1，
a_m＋2，…，a_2m是首项为

，公比为

的等比数列（其中 m≥3，m∈N*），并对任意的n∈N*，均有a_n＋2m＝a_n成立．
（1）当m＝12时，求a₂₀₁₀；
（2）若a₅₂＝

，试求m的值；
（3）判断是否存在m（m≥3，m∈N*），使得S_128m＋3≥2010成立？若存在，试求出m的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a₂₀₁₀＝a₁₈＝a_12＋6＝

．
（2），m＝45，或15，或9．
（3）不存在m（m≥3，m∈N*），使得S_128m＋3≥2010成立．

解析

解（1）m＝12时，数列的周期为24．
∵2010＝24×83＋18，而a₁₈是等比数列中的项，
∴a₂₀₁₀＝a₁₈＝a_12＋6＝

．
（2）设a_m＋k是第一个周期中等比数列中的第k项，则a_m＋k＝

．
∵

，∴等比数列中至少有7项，即m≥7，则一个周期中至少有14项．
∴a₅₂最多是第三个周期中的项．
若a₅₂是第一个周期中的项，则a₅₂＝a_m＋7＝

．
∴m＝52－7＝45；
若a₅₂是第二个周期中的项，则a₅₂＝a_3m＋7＝

．∴3m＝45，m＝15；
若a₅₂是第三个周期中的项，则a₅₂＝a_5m＋7＝

．∴5m＝45，m＝9；
综上，m＝45，或15，或9．
（3）2m是此数列的周期，
∴S_128m＋3表示64个周期及等差数列的前3项之和．
∴S_2m最大时，S_128m＋3最大．
∵S_2m＝

，
当m＝6时，S_2m＝31－

＝

；
当m≤5时，S_2m＜

；
当m≤7时，S_2m＜

＝29＜

．
∴当m＝6时，S_2m取得最大值，则S_128m＋3取得最大值为64×

＋24＝2007．
由此可知，不存在m（m≥3，m∈N*），使得S_128m＋3≥2010成立．

考点

据考高分专家说，试题“已知无穷数列{an}中，a1，a2，…，.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．