设数列{an}中，Sn是它的前n项和，a1=4，nan+1=Sn+n对任意n∈N*均成立．求证：数列{an}是等差数列；设数列{bn}满

题文

设数列{a_n}中，S_n是它的前n项和，a₁=4，na_n+1=S_n+n（n+1）对任意n∈N^*均成立．
（I）求证：数列{a_n}是等差数列；
（II）设数列{b_n}满足b_n+1-b_n=a_n，其中b₁=2，求数列{b_n}的通项公式；
（III）设cn=1bn，求证：c₁+c₂+…+c_n＜1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵na_n+1=S_n+n（n+1）①∴（n-1）a_n=S_n-1+（n-1）n（n≥2）②
①-②整理得，a_n+1-a_n=2（n≥2）
又由①，取n=1得a₂-a₁=2∴a_n+1-a_n=2（n∈N^*）
∴数列{a_n}是以4为首项，2为公差的等差数列．
（II）由（I）知a_n=4+2（n-1）=2（n+1）
∴b_n+1-b_n=2（n+1）
∴（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₃-b₂）+（b₂-b₁）=2n+2（n-1）+…+2×3+2×2=n²+n-2
∴b_n=n（n+1）．
（III）由cn=1bn得，cn=1n(n+1)=1n-1n+1
∴c₁+c₂+…+c_n=1-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1＜1．

解析

1bn

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}中，Sn是它的前n项和，a.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．