设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。求数列的通项公式；记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；设数列的前

题文

（本小题满分14分）
设数列

的前

项和为

，对任意的正整数

，都有

成立，记

。
（Ⅰ）求数列

的通项公式；
（Ⅱ）记

，设数列

的前

项和为

，求证：对任意正整数

都有

；
（Ⅲ）设数列

的前

项和为

。已知正实数

满足：对任意正整数

恒成立，求

的最小值。 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）


（Ⅱ）证明见解析。
（Ⅲ）4

解析

本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力。
（Ⅰ）当

时，


又







数列

成等比数列，其首项

，公比是







……………………………………..3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知





=


又


当


当





（Ⅲ）由（Ⅰ）知


一方面，已知

恒成立，取n为大于1的奇数时，设


则








>




对一切大于1的奇数n恒成立


只对满足

的正奇数n成立，矛盾。
另一方面，当

时，对一切的正整数n都有


事实上，对任意的正整数k，有











当n为偶数时，设


则


<


当n为奇数时，设


则


<




对一切的正整数n，都有


综上所述，正实数

的最小值为4………………………….14分

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）设数列的前项和为，对.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．