设F1，F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差

题文

设F₁，F₂分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F₁斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列．
（1）求E的离心率；
（2）设点P（0，-1）满足|PA|=|PB|，求E的方程 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由椭圆定义知|AF₂|+|BF₂|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，
得|AB|=43al的方程为y=x+c，其中c=a2-b2．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A、B两点坐标满足方程组y=x+cx2a2+y2b2=1
化简的（a²+b²）x²+2a²cx+a²（c²-b²）=0
则x1+x2=-2a2ca2+b2，x1x2=a2(c2-b2)a2+b2
因为直线AB斜率为1，得43a=4ab2a2+b2，故a²=2b²
所以E的离心率e=ca=a2-b2a=22
（II）设AB的中点为N（x₀，y₀），由（I）知x0=x1+x22=-a2ca2+b2=-23c，y0=x0+c=c3．
由|PA|=|PB|，得k_PN=-1，
即y0+1x0=-1
得c=3，从而a=32，b=3
故椭圆E的方程为x218+y29=1．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“设F1，F2分别是椭圆E：x2a2+y2.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．