设点An，Pn和抛物线Cn：y=x2+anx+bn，其中an=-2-4n-12n-1，xn由以下方法得到：x1=1，点

题文

设点A_n（x_n，0），P_n（x_n，2^n-1）和抛物线C_n：y=x²+a_nx+b_n（n∈N*），其中a_n=-2-4n-12n-1，x_n由以下方法得到：x₁=1，点P₂（x₂，2）在抛物线C₁：y=x²+a₁x+b₁上，点A₁（x₁，0）到P₂的距离是A₁到C₁上点的最短距离，…，点P_n+1（x_n+1，2ⁿ）在抛物线C_n：y=x²+a_nx+b_n上，点A_n（x_n，0）到P_n+1的距离是A_n到C_n上点的最短距离．
（Ⅰ）求x₂及C₁的方程．
（Ⅱ）证明{x_n}是等差数列． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题意得A₁（1，0），C₁：y=x²-7x+b₁，
设点P（x，y）是C₁上任意一点，
则|A₁P|=(x-1)2+y2=(x-1)2+(x2-7x+b1)2
令f（x）=（x-1）²+（x²-7x+b₁）²
则f'（x）=2（x-1）+2（x²-7x+b₁）（2x-7）
由题意得f'（x₂）=0，
即2（x₂-1）+2（x₂²-7x+b₁）（2x₂-7）=0
又P₂（x₂，2）在C₁上，∴2=x₂²-7x₂+b₁
解得x₂=3，b₁=14
故C₁的方程为y=x²-7x+14
（Ⅱ）设点P（x，y）是C_n上任意一点，
则|A_nP|=(x-xn)2+y2=(x-xn)2+(x2+anx+bn)2
令g（x）=（x-x_n）²+（x²+a_nx+b_n）²
则g'（x）=2（x-x_n）+2（x²+a_nx+b_n）（2x+a_n）
由题意得g'（x_n+1）=0
即2（x_n+1-x_n）+2（x_n+1²+a_nx+b_n）（2x_n+1+a_n）=0
又∵2ⁿ=x_n+1，∴（x_n+1-x_n）+2ⁿ（2x_n+1+a_n）=0（n≥1），
即（1+2ⁿ⁺¹）x_n+1-x_n+2ⁿa_n=0（*）
下面用数学归纳法证明x_n=2n-1，
①当n=1时，x₁=1，等式成立；
②假设当n=k时，等式成立，即x_k=2k-1，
则当n=k+1时，由（*）知（1+2^k+1）x_k+1-x_k+2^ka_k=0，
又a_k=2-4k-12k-1，∴x_k+1=xk-2kak1+2k+1=2k+1，
即n=k+1时，等式成立．
由①②知，等式对n∈N^*成立，
故{x_n}是等差数列．

解析

(x-1)2+y2

考点

据考高分专家说，试题“设点An（xn，0），Pn（xn，2n-.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．