有个首项都是1的等差数列，设第个数列的第项为，公差为，并且成等差数列．证明，并求的值当时，将数列分组如下：(每组

题文

（本小题满分14分）
有

个首项都是1的等差数列，设第

个数列的第

项为



，公差为



，并且

成等差数列．
（Ⅰ）证明

（

，

是



的多项式），并求

的值
（Ⅱ）当

时，将数列

分组如下：


(每组数的个数构成

等差数列)．
设前

组中所有数之和为

，求数列

的前

项和

．
（Ⅲ）设

是不超过20的正整数，当

时，对于（Ⅱ）中的

，求使得不等式


成立的所有

的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）由题意知

.


，
同理，

，

，…，


．
又因为

成等差数列，所以

.
故

，即

是公

差为

的等差数列．
所以，

．
令

，则

，此时

． ………4分
（Ⅱ）当

时，

．
数列

分组如下：

．
按分组规律，第

组中有

个奇数，
所以第1组到第

组共有

个奇数．
注意到前

个奇数的和为

，
所以前

个奇数的和为

.
即前

组中所有数之和为

，所以

．
因为

，所以

，从而



．
所以

.


.
故









.
所以

．         ………………………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）得

，



.
故不等式

就是

．
考虑函数



．
当

时，都有

，即

．
而

，
注意到当

时，

单调递增，故有

.
因此当

时，

成立，即

成立．
所以,满足条件的所有正整数

．    …………………………14分

解析

略

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）有个首项都是1的等差.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．