题文
已知等差数列{an}的各项均为正数，a1=3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，公比q=2，且a2b2=20，a3b3=56，（1）求an与bn
（2）求数列{anbn}的前n项和Tn
（3）记Cn=
，若C1+C2+C3+…+Cn≥m2﹣
对任意正整数n恒成立，求实数m 的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）an=2n+1； bn=2n（2）Tn=（2n+1）2n+1+2（3）[﹣
，
]
解析
（1）设{an}的公差为d，根据题意建立关于d与{bn}首项b1的方程组，解之可得b1=d=2，从而得到an与bn的表达式；
（2）由（1）得anbn=（2n+1）2n，利用错位相减法结合等比数列的求和公式，即可算出{anbn}的前n项和Tn的表达式；
（3）根据等差数列的前n项和的表达式，化简得到Cn=
=
=
，从而利用裂项求和的方法求出C1+C2+C3+…+Cn=1﹣
，得到当n=1时它的最小值为
．因此原不等式恒成立，即
≥m2﹣
，解之得﹣
≤m≤
，可得实数m的取值范围．
解：（1）设{an}的公差为d，则
，解之得b1=d=2
∴数列{an}的通项为an=3+2（n﹣1）=2n+1；数列{bn}的通项为bn=2n
（2）由（1）得anbn=（2n+1）2n
∴Tn=3×2+5×22+7×23+…+（2n+1）2n
两边都乘以2，得2Tn=3×22+5×23+7×24+…+（2n+1）2n+1，
两式相减，得
﹣Tn=6+2（22+23+…+2n）﹣（2n+1）2n+1，
=6+
﹣（2n+1）2n+1=﹣2+（1﹣2n）2n+1，
∴Tn=（2n+1）2n+1+2
（3）Sn=3n+
×2=n2+2n
∴Cn=
=
=
由此可得C1+C2+C3+…+Cn=（1﹣
）+（
）+…+（
）=1﹣
因此，当n=1时，C1+C2+C3+…+Cn的最小值为
∵不等式C1+C2+C3+…+Cn≥m2﹣
对任意正整数n恒成立，
∴
≥m2﹣
，解之得﹣
≤m≤
，即实数m的取值范围是[﹣
，
]．
点评：本题给出等差、等比数列，求它们的通项公式并求{anbn}的前n项和Tn的表达式，讨论与之有关的不等式恒成立的问题．着重考查了等差等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法与裂项求和的方法和不等式恒成立等知识点，属于中档题．
考点
据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的各项均为正数，a1.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）
仍为等差数列，公差为
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
